“一图”揽“全局” “小菜”变“大餐”
——以八年级（上）期中几何复习为例谈阶段性复习教学
阶段性复习的作用在于帮助学生查漏解惑，条理知识，沟通各章节知识间的联系，掌握分析思路与解题策略，渗透思想方法，强化推理能力，提升思维水平．本文以苏科版八年级上学期期中几何复习为例，谈谈笔者根据知识间的内在联系，将一道教材基础练习题改编、变式为问题串，以此融合相关几何知识、分析策略和思想方法，以“一图”揽“全局”，变“小菜”为“大餐”，建构初中数学阶段性复习课堂的思考．
一、复习内容与目标
这是八年级第一学期的期中迎考复习课，复习内容为苏科版数学八年级上册的“全等三角形”、“轴对称图形”和“勾股定理”3章，主要知识点有全等三角形定义、判定、性质，线段、角等图形的轴对称性，等腰三角形（等边三角形）的性质、判定，勾股定理及其逆定理等．
习题原型：（苏科版教材八年级上册[1]第36页第10题）如图1，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，BE、CD相交于点O．如果AB=AC，那么图中有几对全等的直角三角形？试说明你的结论．
习题改编：如图1，已知AB=AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别是D、E，BE、CD相交于点O，连接AO．
（1）图中有几对全等三角形？试说明你的理由．
（2）根据条件，你还能得到什么结论？
（3）连接BC，观察图形，猜想直线AO与线段BC有何位置关系？
（4）连接BC．
①若BE平分AC，△ABC是等边三角形吗？
②若∠ABE=30°，△ABC是什么图形？为什么？
（5）若AB=5，AE=3，求OD的长．
（6）能否将条件中的“CD⊥AB，BE⊥AC”换成其他条件，仍有“OA平分∠BAC”成立？
二、教学环节呈现
【教学环节一】“题根”式置疑
师：图1中有几对全等三角形？请说明理由．
生1：4对，其中3对直角三角形全等．
师：请同学们完成证明过程，并分别指出判定依据．
（学生从已有条件出发，结合已证的结论，分别证明图1中4对全等三角形，并梳理三角形全等的四个判定方法，教师板书全等三角形四种判定方法的符号表示．）
【点评】全等三角形的判定是本节复习课的重点之一．教者将教材原题结论的“直角三角形”换成“三角形”，问题源于教材，具有基础性、典型性、生成性和关联性，笔者称之为“题根”．课堂上从“题根”出发，通过老师引导、追问，学生思考、交流、练习，复习了全等三角形的4种判定方法，系统地梳理相关知识．与教材问题相比，所涉及的全等三角形类型更广泛、问题更具一般性．
【教学环节二】关联式追问
师：观察图形，你还能得到什么结论？
生2：图中有几对相等的线段，如……；
生3：图中有几组相等的角，如……；
生4：根据观察，图中OA平分∠BAC；
……
师：看来大家的发现真不少．生2、生3两位同学发现了相等的线段、相等的角，这些结论通过刚才的三角形全等就可以证明，那么OA平分∠BAC怎样证明？
生4：只要证明以∠BAO与∠CAO为对应角的两个三角形全等就行了．
师：你是怎么想到的？说说你的证明依据．
生4：要证明“点O在∠BAC的角平分线上”即要证明∠BAO =∠CAO．根据“全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等”，所以需证明△BAO ≌△CAO或△DAO ≌△EAO．
师：还有其他方法吗？
生5：有．根据“在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，因为 CD⊥AB，BE⊥AC，所以只要证明OD=OE即可．
师：这里为什么要加上“在角的内部”的限制条件？
生5：……
师：如果不加这个限制，会出现什么情况？
生5：哦，我明白了（到黑板上画图），如果点O位置如图2所示，到∠BAC的边AB、AC的垂线段OD、OE相等，但却不在∠BAC的内部．
（梳理知识：角平分线定理及逆定理）
师：很好，由此可见，我们研究问题时应该多问几个为什么，有时还需要从正、反两个方面思考．
师：如图3，连接BC，观察图形，猜想：直线AO与线段BC有何位置关系？请证明你的猜想，并说明证明依据．
生6：从图形上看，AO垂直平分BC．
生7：利用问题（2）中已证的结论“AO平分∠BAC”，结合条件“AB=AC”，根据等腰三角形的“三线合一”即可说明：等腰三角形ABC顶角A的平分线AO也是底边BC的垂直平分线，即AO垂直平分BC．
（梳理知识：等腰三角形的性质：“三线合一”）
生8：由问题（1）中的全等三角形可得BO=CO，从而说明点O在BC的垂直平分线上；由条件AB=AC可得点A也在BC的垂直平分线上，根据“两点确定一条直线”即可得AO是BC的垂直平分线．
（梳理知识：线段垂直平分线判定定理．）
师：生7是用等腰三角形的“三线合一”证明，生8的根据是“两点确定一直线”，两位同学的方法都很好．看来，同一个问题从多角度、多思路去思考，还能让我们“脑洞”大开．
【点评】通过引导学生对“题根”提出“点O在∠BAC的角平分线上吗”、“直线AO与线段BC有何位置关系”等关联性问题，发展学生观察联想、合情推理的能力；经历问题分析与解决过程，让学生感受到解决问题通法是回到本源——三角形的全等；通过将证明角平分线、线段垂直平分线问题向判定定理引导，让学生感受“角平分线定理”和“等腰三角形三线合一”的基本模型；通过对角平分线逆定理的限制条件“在角的内部”的辨析，让学生明晰角平分线逆定理的外延与内涵和适用条件；通过“说明依据”的方式链接相关定理，建构知识体系，让学生体验方法多样性与策略优化的思想．
【教学环节三】递进式延伸
师：连接BC，问：①若BE平分AC，问△ABC是等边三角形吗？判定依据是什么？②若∠ABE=30°，△ABC是等边三角形吗？判定依据是什么？
生9：问题①，根据线段垂直平分线的性质可得AB=BC，再结合条件AB=AC，即可知AB=AC=BC．
（师由此提问等边三角形的定义判定法，同时复习线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．）
生10：问题②中△ABC是等边三角形．由条件可得Rt△BDG中∠ABE=60°，又因为AB=AC，根据“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形“即可．
师：由此可见：等腰三角形与等边三角形是什么关系？
生众：是一般和特殊的关系．
师：我们判定等边三角形有哪些方法？
生11：三边相等；有两个角是60°；先证等腰三角形，再证明有一个角是60°．
【点评】通过对“题根”给出“BE平分AC”、“∠ABE=30°”强化条件，提出“等边三角形”的递进性结论，培养学生合情推理能力；通过审题指导和方法点拨，进一步积累分析问题的经验；通过“说理”过程提高演绎推理和几何表达能力；通过辨析等腰三角形与等边三角形的关系，将特殊三角形纳入原有知识体系，体验从一般到特殊的数学思想．
【教学环节四】发散式拓展
师：在原问题中，若AB=5，AE=3，求OD的长，请同学们思考一下．
生11：我想到了勾股定理，将OD放到Rt△BDO中来求，根据已有条件易求BE=4，即BO+OD=4，在Rt△BDO中，BD=AB-AD=AB-AE=5-3=2．
师：求到BD、BO+OD又能怎么样？
生11：看来不能直接求出OD的长．
生12：我觉得可以间接求，对于Rt△BDG来说，已知一边长和另两边间的关系，设OD= OE= x，BO=4-x．由勾股定理建立方程
，解之即可．
师：很好，线段长度尽可能在直角三角形中运用勾股定理来求，如果没有直角三角形可以设法构造，如果不能直接求可以设未知数间接来求．那么还有其他方法吗？
生13：由“垂线段”我想到了三角形面积公式，设OD= x，利用Rt△ABE的面积关系S△ABO+S△AOE=S△ABE，建立关于OD的方程5x+3x=3×4．
师：由此可见，勾股定理、三角形等积等是求线段长的有效方法，如果直接求比较困难还可以用方程间接求．
【点评】通过求线段长度的方法分析，有四方面的功能：在知识技能上，复习了勾股定理；在解题思路上，了解勾股定理、面积关系和相关定理等是线段长度计算的常用思路；在策略优化上，感受从不同视角、用不同方法表示同一图形面积，建立方程解决问题策略的简便性；在思想方法上，通过设未知数间接求几何量以渗透方程思想，将问题转化为直角三角形或三角形面积以渗透转化思想；在活动经验上，经历探究与联想过程，积累思路分析与方法优化的经验．
【教学环节五】开放式质疑
师：能否将原问题的条件“CD⊥AB，BE⊥AC”换成其他条件，仍有“OA平分∠BAC”成立？
生14：∠ADC=∠AEB．
师：为什么？
生14：如图4，由上面分析可知，要OA平分∠BAC，就要△ADO≌△AEO，由于有∠ADC=∠AEB，只要证AD=AE、DO=EO，即要证△BDO ≌△CEO，由于可证△ABE ≌△ACD，从而∠B=∠C就好了．
师：看来，△ABE ≌△ACD是问题解决的关键，那么还可以换成其他条件吗？
生15：∠B=∠C．
生16：AD=AE．
生17：BE=CD．
师：生15、生16的条件我们课后思考，现在我们来看生17的情况，由BE=CD能得到∠ADC=∠AEB吗？（学生思考、讨论）
生17：关键看能不能得到△ABE≌△ACD．
师：大家想想：△ABE与△ACD中已知的条件是什么？它们之间是什么关系？
生18：∠A是公共角、AB=AC、BE=CD，它们是“两边和其中一边的对角对应相等”的关系．
师：能不能画图试试看，是什么样子？
生众：（茫然……）
师：在AB=AC的条件下，当D点确定后，如何由BE=CD确定E点呢？
生18：以B为圆心、CD长为半径画弧与AC相交于点E．
生17：老师，我画的图中AO不平分∠BAC，△ABE与△ACD也不全等，这是为什么呢？（如图5）
生18：如图6，以B为圆心、CD长为半径画 eq \o(⌒,EE′)与AC有两个交点E和E′，其中ADC≠∠AE′B．
师：由此可见，由于“已知两边和其中一边的对角”的三角形不能确定，所以就不能判定△ABE与△ACD全等，这就是为什么三角形全等的判定方法中有SAS、ASA、AAS、SSS、HL（直角三角形）而没有SSA，现在大家明白了吗？
【点评】良好的思维品质在于：对已有结论提出质疑，发现并提出新问题及解决思路，并能不断反思、调控、优化思路．对“已知两边和其中一边所对角的三角形的不确定性”是学生易错点，也是复习难点，教师通过开放性问题的设置，引导学生借助几何直观，在思辨中澄清模糊认识，明晰、内化全等三角形的判定方法，突破了复习难点．
【教学环节六】结构式归纳
师：本节课我们复习了哪些知识？（学生归纳，教师板书，完善知识网络结构）
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图形 |
定义 |
判定 |
性质 |
注意点 |
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全等三角形 |
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轴对称图形 |
线段垂直平分线 |
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角的平分线 |
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等腰三角形 |
腰与底不等 |
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等边三角形 |
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直角三角形 |
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师：结合本节课的学习，你能和大家分享其中蕴含的思想方法吗？
生19：从“等腰三角形与等边三角形的关系”中我领悟到了一般到特殊的数学思想；
生20：从“若AB=5，AE=3，求OD的长”中，我深切体会到方程思想在解题中的魅力．
生21：在解题过程中，我们经常运用“转化”的思想方法……
【点评】这个环节通过“本节课我们复习了哪些知识”、“你能与大家一起分享其中蕴含的思想方法吗”等追问，让知识点“回笼”，完善知识网络；引导学生在具体问题情境中体会、感悟一般到特殊的数学思想．
三、阶段性复习教学的思考
不少教师有这样的纠结：数学复习课既要梳理知识，引导学生充分探究、暴露思维过程，又要具有一定的训练容量，提高解题能力，二者实难两全．笔者认为：高效复习的前提是问题的设计，而高效复习的标志是选择合理的复习路径以及课堂智慧灵动的生成．
1．关于复习题串的设计
复习课备课的重要工作之一是设计“题根”和问题串．好的“题根”具有基础性、典型性、关联性和生成性．所谓基础性，就是问题源于教材、源于基础，难度小，易完成，一般在课内前3分钟可以完成；所谓典型性，即问题能覆盖复习章节的相关知识，通过练习检查、暴露学生的疑点、盲点和易错点；所谓关联性，也就是“题根”与教材知识和生成的问题顺应知识的系统性和连贯性，利于结构化碎片知识；生成性即接下来的复习教学便于以“题根”为基础，拓展、延伸出有梯度的新问题．问题串是课堂复习成功的关键，问题串可以是对“题根”的置疑、追问与质疑，也可以是基于“题根”的变式、延伸与拓展，以此释疑解惑、条理知识、掌握方法、渗透思想、训练思维。
就本节课而言，通过对教材中一道习题的简单变式得到“题根”，以此复习根据条件用不同定理（或公理）直接判断三角形全等，梳理三角形全等的几种判定方法，体现了“题根”的基础性；通过对“题根”提出并解决“OA平分∠BAC吗”、“判断直线AO与线段BC的位置关系”、“若BE平分AC或∠ABE=30°时△ABC是什么形状”等问题，梳理角的平分线、线段垂直平分线、特殊三角形判定等知识，同时通过对“在角的内部”、“SSA”等问题的讨论、辨析，解决学生典型的疑难问题，正是“题根”的典型性；以“一线串珠”式的问题，关联教材内容、关联数学知识与思想方法，关联数学解题与表达能力，体现了“题根”的关联性；通过研究“题根”基础上添加条件“AB=5，AE=3”生成新的问题“求OD的长”等，强化问题思路分析策略和数学的思想方法，体现了“题根”的生成性．
2．关于复习路径的选择
笔者将阶段性复习课分为“‘题根’式置疑”、“关联式追问”、“递进式延伸”、“发散式拓展”、“开放式质疑”和“结构式归纳”等6个教学环节，其路径如图7所示．
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图7 |
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题根式置疑 |
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关联式追问 |
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递进式延伸 |
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发散式拓展 |
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开放式质疑 |
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结构式归纳 |
“关联式追问”、“递进式延伸”和“发散式拓展”均基于“‘题根’式置疑”．“关联式追问”侧重本节课知识层面的复习与建构，进一步明确知识间的联系；引导学生对“题根”提出、解决关联性结论，让学生“说明依据”的方式链接相关定理，了解相关定理的基本模型和运用条件．“递进式延伸”、“发散式拓展”则是通过对题根条件的强化（或弱化）提出并解决递进性问题，在一题多解、一题多变中体验证法多样性与策略优化，感悟“问题解决”的途径、思路和方法．
“开放式质疑”环节是引导学生就“关联式追问”、“递进式延伸”和“发散式拓展”三个环节中的结论、问题进行质疑、纠错、反思，以强化学习重点、突破学习难点、澄清学习疑点，提升思维品质．
“结构式归纳”环节是复习课的点睛之笔．一方面，在上述环节之后，教师引导学生梳理、回顾知识、方法、策略等方面，并通过框图、表格等方式将概念、定理、思想方法显性化、结构化，以此培养学生归纳、概括、提炼、表达的能力．同时留下新的疑问，使复习课余味无穷；另一方面，当堂练习，巩固复习内容，完成由“题根”延伸、拓展、质疑的问题，也可以练习相关的变式题，内容可顺势而为．需要特别指出的是：建构关知识体系、引导质疑释疑、渗透数学思想、发展思维能力作为复习课的主线，应该贯穿于各个复习环节．
3．关于复习课堂的生成
“题根”为课堂复习留下足够的生长空间，通过课堂的智慧捕捉，让问题在质疑中生成，方法在探究中积累．作为阶段性复习课，应着眼于四个方面：
（1）问题从追问到质疑．本节课问题提出及思路的生成过程是从教师追问到学生质疑的过程．如本课中教师提出问题：能否将条件改变一下，结论仍然成立，学生必然会思考：如将“CD⊥AB，BE⊥AC”换成“∠ADC=∠AEB”行吗？将“CD⊥AB，BE⊥AC”换成“AD=AE或BE=CD”行吗？在改为“BE=CD”时自然出现“两边及一边对角对应相等的两个三角形是否全等”的质疑，从而引发学生讨论，澄清学生的疑惑．再比如，教学活动不是少数优秀学生的游戏，问题（3）判断“直线AO与线段BC的关系”，不是所有学生都能“明理”并有条理地表达，教者根据学情，指定其他有困惑的学生：请你再说一遍．如果能完整表达，那也是给其他学生多一次领悟的机会；反之，则能借机引导学生辨析、修正、完善，既深化认知与理解，又能提高语言表达及数学推理能力．“‘再说一遍’，这个过程看似多费时间，实则是‘精彩不让滑过’．这种肯定发现、引发共鸣的课堂驾驭不但激励了学生的发现，也为其他思维滞后的学生争取了听懂、理解的机会”[5]，这个看似无意的重复过程，应该成为教师的教学自觉．
（2）思维从封闭从开放．这里的“开放”包含三方面：一是条件的开放．如问题（6）中“如果将条件的‘CD⊥AB，BE⊥AC’去掉，你认为应该添加什么条件，仍然有‘OA平分∠BAC’成立？”这种条件的开放使学生的思维更加活跃；二是结论的开放．问题（4）的①如果改为“若BE平分AC，你能得出什么结论？”学生经历这样的探究过程，就会增强对分析方法的感悟、对策略优化的意识；三是方法的开放．问题（5）是一道小综合题，具有一定的开放性．由于学生认识封闭，思路常局限于勾股定理因而思维受阻．因此，在学生用勾股定理后，教师追问：“还有其他方法求出该‘垂线段’的长度吗？”启发学生换一种视角思考，并比较运用两种方法的优劣，从而让学生思路更加开放．需要说明的是：方法的优劣不宜由教师下结论，因为学生的思路出发点、思考角度可能不同，别人认为简单的方法在学生个体看来可能比较困难．对学生而言，适合的方法就是好方法．
（3）方式从单边到互动．教学过程应该是在教师引导下的学生自主探究的过程，而不是一问一答式的对话；是师生多边互动中不断生成的过程，而不是教师单向的灌输．教师的作用是在学生自主探究时关注、在学生思维“愤悱”时追问、在学生思路阻塞时点拨、在学生感悟方法时提炼．不同的个体可能有不同的感悟，这样既能发展不同层次学生的思维，又促进了学生间的互学互享，最后的落脚点是学生能力的提升．当然，在体现学生主体地位的同时，从来都不应否定教师的有效引导．
（4）路径从固化到灵动．阶段性几何复习重在培养几何直观与演绎推理能力、图形分离和整合能力、把握本质与数学建模能力、收敛思维和发散思维能力、逻辑推理与合理表达能力．因此，复习路径不是固化的，而应该是沿着知识的基本点、交汇点、制高点波浪式前进、螺旋式上升的灵动过程．如教学环节一通过基本问题复习了全等三角形的四种判定方法，但“两边和其中一边所对角对应相等的两个三角形是否全等”的问题是学生认知的难点，如果此时引出这样的难点问题就显得唐突．教者在“开放式质疑”环节提出“将原问题条件的CD⊥AB，BE⊥AC换成其他条件，仍有OA平分∠BAC成立吗”，学生在前面探究经验基础上，改变条件的形式自然引出、分析问题，在高层次内化知识，无论是问题的生成与解决都比较自然顺畅．因此，复习路径的选择要视学情相机而行、动态生成，但无论怎样，置疑、生疑、质疑、释疑应该贯穿于课堂每一环节，知识建构、思想渗透、经验积累、思维训练也应该落实于复习全过程．
四、结语
阶段性数学复习课的意义不止于解决数学问题，更不是数学知识的简单重复，教师的着力点应该是学生数学能力和素养的再生长．这需要教师以教材为依托进行变式、整合，“小题”大做，通过横向联系、纵向拓展、质疑释疑，提升学生类比、联想、归纳、抽象、演绎等思维能力，从而走出复习课低效、低层次的重复教学的怪圈，这才是阶段性复习课的意义所在．
参考文献：
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[2]钱德春．源于教材的试题编制的意义[J]．中国数学教育（初中），2015（7）：
[3]周礼寅．数学思想方法及其渗透教学[J]．课程教材研究所 人民教育出版社，2011．
[4]裴光亚．高考数学有效复习的途径[J]．数学通讯（下半月），2010（5）：43-49．
[5]刘东升．请你再说一遍的功能特点探讨[J]．中学数学杂志（初中），2014（6）：29-31